สรุปความเท่ากันทุกประการและความคล้าย ม.ต้น เทคนิคจำง่าย มองภาพออก แก้โจทย์ได้ทันที

ทำความเข้าใจภาพรวม ความเท่ากันทุกประการ VS ความคล้าย ต่างกันอย่างไร

การเรียนคณิตศาสตร์เรื่องรูปทรงเรขาคณิต สิ่งสำคัญที่สุดคือการมองภาพให้ออก เทคนิคการจำที่ง่ายที่สุดคือการเปรียบเทียบกับสิ่งรอบตัว หากน้องๆ นึกถึงการถ่ายเอกสารกระดาษแผ่นเดิมออกมาอีกแผ่น นั่นคือรูปภาพที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ แต่หากน้องๆ ใช้นิ้วขยายรูปในหน้าจอมือถือให้ใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง นั่นคือเรื่องความคล้าย ทั้งสองเรื่องนี้เป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์ ม.ต้น ที่ออกข้อสอบบ่อยที่สุด

ความเท่ากันทุกประการ หมายถึง รูปเรขาคณิตสองรูปที่ทับกันได้สนิทพอดีทุกประการ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องของรูปร่าง ขนาด ความกว้าง ความยาว หรือมุม ทุกอย่างต้องเหมือนกันเป๊ะ 100 เปอร์เซ็นต์ ในขณะที่ ความคล้าย หมายถึง รูปเรขาคณิตสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน อาจเป็นการย่อหรือขยายจากรูปต้นแบบ โดยมีอัตราส่วนของความยาวด้านที่สมนัยกันเป็นอัตราส่วนที่เท่ากันเสมอ

เจาะลึก ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม แฝดแท้ที่ทับกันสนิท

ในการพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการหรือไม่ เราไม่จำเป็นต้องวัดด้านทั้งสามด้านและมุมทั้งสามมุม แต่สามารถตรวจสอบผ่านความสัมพันธ์ 5 แบบหลักๆ ดังต่อไปนี้

• แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) หมายถึง รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความยาวของด้านเท่ากันทั้งสามคู่ หากความยาวด้านตรงกันครบทั้งสามด้าน รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการทันที
• แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมีมุมในระหว่างด้านคู่ที่เท่ากันนั้นมีขนาดเท่ากัน ข้อควรระวังคือมุมต้องอยู่ตรงกลางระหว่างด้านทั้งสองเท่านั้น
• แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านที่เป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากัน
• แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.) หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันสองคู่ และมีด้านที่อยู่อื่นที่ไม่ใช่ด้านระหว่างมุมทั้งสองยาวเท่ากันหนึ่งคู่
• แบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน (ฉ.ด.ด.) เป็นความสัมพันธ์พิเศษเฉพาะรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุมฉากเท่ากัน มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากันอีกหนึ่งด้าน

เจาะลึก ความคล้าย ย่อหรือขยาย แต่ทรงเดิมไม่เปลี่ยน

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันก็ต่อเมื่อเข้าเงื่อนไขสำคัญสองประการ คือ มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ครบทั้งสามคู่ หรือมีอัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่

คุณสมบัติที่น่าสนใจของความคล้ายคือ ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นจะขยายใหญ่ขึ้นกี่เท่าก็ตาม ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมจะไม่มีวันเปลี่ยนแปลง มุมเดิมเคยกางกี่องศา ก็จะยังคงกางเท่าเดิมเสมอ สิ่งที่เปลี่ยนมีเพียงความยาวของด้านซึ่งจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในสัดส่วนที่เท่ากันทุกด้าน

สมการหัวใจสำคัญในการแก้โจทย์สามเหลี่ยมคล้ายคือการจับคู่อัตราส่วนด้านที่สมนัยกัน เช่น หากรูปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม DEF เราจะได้อัตราส่วน AB ต่อ DE เท่ากับ BC ต่อ EF เท่ากับ AC ต่อ DF เสมอ การตั้งสมการอัตราส่วนนี้จะช่วยให้น้องๆ หาความยาวด้านที่เหลือได้อย่างง่ายดาย

3 สเต็ปแก้โจทย์ความคล้ายและความเท่ากันทุกประการให้ได้คะแนนเต็ม

การทำข้อสอบเรื่องนี้ให้ไวและถูกต้อง 100 เปอร์เซ็นต์ มีเทคนิคการคิด 3 ขั้นตอนง่ายๆ ที่นำไปใช้ได้กับโจทย์ทุกรูปแบบ

• สเต็ปที่ 1 มองหาเรื่องมุมก่อนเสมอ ให้ใส่สัญลักษณ์มุมที่เท่ากันลงในรูปภาพ โจทย์ส่วนใหญ่มักจะซ่อนมุมร่วม มุมตรงข้าม หรือมุมแย้งจากเส้นขนานเอาไว้ การเติมมุมให้ครบจะช่วยให้เราเห็นความสัมพันธ์ได้ชัดเจนขึ้น
• สเต็ปที่ 2 จับคู่จุดยอดที่สมนัยกัน การเขียนชื่อรูปสามเหลี่ยมตามลำดับจุดยอดที่สมนัยกันเป็นเรื่องสำคัญมาก หากเขียนลำดับจุดยอดถูกต้อง การจับคู่ด้านสมนัยกันเพื่อตั้งสมการอัตราส่วนจะไม่ผิดพลาดเลย
• สเต็ปที่ 3 ตั้งสมการแล้วคูณไขว้ สำหรับโจทย์เรื่องความคล้าย เมื่อได้อัตราส่วนความยาวด้านที่สมนัยกันแล้ว ให้แทนค่าตัวเลขและตัวแปรที่ต้องการหา จากนั้นใช้วิธีการคูณไขว้เพื่อแก้สมการหาคำตอบออกมา

ข้อควรระวังและจุดที่นักเรียนมักโดนโจทย์หลอก

จุดหลอกอันดับหนึ่งในเรื่องความเท่ากันทุกประการคือ ความสัมพันธ์แบบ มุม-มุม-มุม (ม.ม.ม.) และ ด้าน-ด้าน-มุม (ด.ด.ม.) น้องๆ ต้องจำไว้ให้ดีว่า สองแบบนี้ไม่ได้ยืนยันความเท่ากันทุกประการ การที่รูปสามเหลี่ยมมีมุมเท่ากันสามมุม ไม่ได้แปลว่าขนาดจะเท่ากัน มันบอกได้เพียงแค่ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น คล้ายกัน เท่านั้น

ส่วนในเรื่องความคล้าย ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการจับคู่ด้านผิดฝั่ง วิธีแก้คือให้สังเกตว่าด้านไหนอยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดเท่ากัน ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากันนั้นแหละคือด้านที่สมนัยกัน ให้นำความยาวของด้านเหล่านั้นมาทำเป็นอัตราส่วนกัน

สรุปภาพรวมเพื่อนำไปใช้สอบจริง

สรุปแล้ว เรื่องความเท่ากันทุกประการและความคล้ายไม่ใช่เรื่องยากเลย หากน้องๆ จับหลักการจำง่ายๆ ได้ว่า ความเท่ากันทุกประการคือการเท่ากันทั้งรูปร่างและขนาด ส่วนความคล้ายคือรูปร่างเดียวกันแต่อัตราส่วนขนาดต่างกัน การฝึกมองรูป เร่งหาความสัมพันธ์ของมุม และตั้งสมการอัตราส่วนด้านให้ถูกต้อง จะช่วยให้น้องๆ ทำคะแนนในห้องเรียนและข้อสอบเข้า ม.4 ได้อย่างแน่นอน