สรุปจบในที่เดียว จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ ต่างกันอย่างไร พร้อมเทคนิคจำง่ายทำข้อสอบได้ทันที

ไขข้อข้องใจ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ แตกต่างกันอย่างไร

คณิตศาสตร์มัธยมต้นและมัธยมปลายมักเริ่มต้นบทเรียนเรื่องระบบจำนวนจริงด้วยคำสองคำที่ฟังดูซับซ้อน นั่นคือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ หลายคนรู้สึกสับสนและจำสลับกันอยู่เสมอ บทเรียนนี้จะเปลี่ยนเรื่องยากให้กลายเป็นเรื่องง่าย โดยการมองเห็นภาพรวมของโครงสร้างตัวเลขทั้งหมดผ่านการอธิบายเชิงเปรียบเทียบและการยกตัวอย่างที่ชัดเจน

จำนวนตรรกยะ คืออะไร ตัวเลขแบบไหนที่จัดอยู่ในกลุ่มนี้

คำว่า ตรรกยะ มีรากศัพท์มาจากคำว่า ตรรก ซึ่งแปลว่า ความคิด เหตุผล หรือการเปรียบเทียบ ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ หรือ Rational Number หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ หากเราเขียนให้อยู่ในรูปแบบสัญลักษณ์ จะได้เศษส่วนเศษ a ส่วน b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับ 0

กลุ่มตัวเลขที่จัดว่าเป็นจำนวนตรรกยะประกอบไปด้วย 3 กลุ่มหลักดังนี้

• จำนวนเต็มทุกชนิด ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 1, 2, 50 จำนวนเต็มศูนย์ เช่น 0 หรือจำนวนเต็มลบ เช่น -3, -15 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด เพราะเราสามารถเขียนพวกมันให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้เสมอ โดยการใส่ส่วนเป็น 1 เช่น 5 เขียนเป็น 5 ส่วน 1 หรือ -3 เขียนเป็น -3 ส่วน 1
• ทศนิยมรู้จบ หมายถึงทศนิยมที่มีจำนวนตำแหน่งแน่นอน เช่น 0.5 ซึ่งเขียนเป็นเศษ 1 ส่วน 2 ได้ หรือ 2.75 ซึ่งเขียนเป็นเศษ 11 ส่วน 4 ได้ เมื่อเขียนเป็นเศษส่วนได้ จึงจัดเป็นจำนวนตรรกยะทันที
• ทศนิยมซ้ำ หมายถึงทศนิยมไม่รู้จบที่มีชุดตัวเลขซ้ำกันอย่างมีรูปแบบ เช่น 0.333… ซ้ำเลข 3 ไปเรื่อยๆ สามารถเปลี่ยนเป็นเศษ 1 ส่วน 3 ได้ หรือ 0.121212… ซ้ำเลข 12 สามารถเปลี่ยนเป็นเศษ 12 ส่วน 99 ได้ ทศนิยมซ้ำทุกชนิดจึงถือว่าเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ คืออะไร ทำไมถึงเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้

คำว่า อตรรกยะ มีคำว่า อ นำหน้า แปลว่า ไม่ จำนวนอตรรกยะ หรือ Irrational Number จึงหมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ตัวเลขกลุ่มนี้มีความลึกลับซับซ้อนกว่า เพราะเมื่อเขียนเป็นทศนิยม จะได้เป็น ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำกันเลย ตัวเลขหลังจุดทศนิยมจะวิ่งไปเรื่อยๆ โดยไม่มีแบบแผนที่แน่นอน

กลุ่มตัวเลขที่จัดว่าเป็นจำนวนอตรรกยะที่พบได้บ่อย ได้แก่

• รากที่ถอดไม่ลงตัว ตัวเลขติดรูทที่ไม่สามารถถอดค่าออกมาเป็นจำนวนเต็มได้ เช่น สแควร์รูท 2 มีค่าประมาณ 1.41421356… หรือ สแควร์รูท 3 มีค่าประมาณ 1.7320508… ตัวเลขเหล่านี้จะยาวต่อเนื่องไปเรื่อยๆ โดยไม่มีรูปแบบซ้ำกัน จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ ทั้งนี้ต้องระวังตัวเลขที่ดูเหมือนติดรูทแต่ถอดได้ เช่น สแควร์รูท 4 ซึ่งเท่ากับ 2 หรือ สแควร์รูท 9 ซึ่งเท่ากับ 3 กลุ่มนี้จะจัดเป็นจำนวนตรรกยะ
• ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์สากล เช่น ค่าพาย ที่ใช้ในการคำนวณวงกลม ค่าพายที่แท้จริงคือ 3.14159265… ไปเรื่อยๆ ไม่รู้จบ หลายคนมักเข้าใจผิดว่าค่าพายเท่ากับ 22 ส่วน 7 หรือ 3.14 ซึ่งแท้จริงแล้ว 22 ส่วน 7 เป็นเพียงค่าประมาณที่นิยมใช้คำนวณเท่านั้น ตัวค่าพายจริงเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่นเดียวกับค่า e หรือ Euler’s number ที่มีค่าประมาณ 2.71828… ก็นับเป็นจำนวนอตรรกยะเช่นกัน
• ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น 0.1010010001… ซึ่งสังเกตได้ว่าจำนวนเลข 0 เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แม้จะดูเหมือนมีแบบแผน แต่มันไม่ใช่การซ้ำตัวเลขชุดเดิม จึงจัดเป็นจำนวนอตรรกยะ

สรุปข้อแตกต่างสำคัญเพื่อนำไปใช้ในการสอบ

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนที่สุด ลองมาดูสรุปข้อแตกต่างสำคัญระหว่างจำนวนทั้งสองประเภท

• รูปแบบเศษส่วน จำนวนตรรกยะเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ส่วนจำนวนอตรรกยะไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
• รูปแบบทศนิยม จำนวนตรรกยะเป็นทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำ ส่วนจำนวนอตรรกยะเป็นทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ
• ตัวอย่างที่พบบ่อย จำนวนตรรกยะ ได้แก่ -5, 0, 4, 3/4, 0.6, 0.777… ส่วนจำนวนอตรรกยะ ได้แก่ รูท 2, รูท 3, ค่าพาย, ค่า e

เทคนิคการวิเคราะห์โจทย์สอบเรื่องจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

ข้อสอบมัธยมมักจะชอบวางกับดักเพื่อทดสอบความเข้าใจของนักเรียน เทคนิคในการเช็กว่าตัวเลขใดเป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ มีขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้

ขั้นตอนแรก ให้จัดรูปตัวเลขให้สมบูรณ์และเรียบง่ายที่สุดก่อนเสมอ หากเจอสแควร์รูท อย่าเพิ่งรีบสรุปว่าเป็นอตรรกยะ ให้ลองถอดรูทดูก่อน เช่น สแควร์รูทของ 16 มีค่าเท่ากับ 4 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ หรือเศษส่วนที่มีสแควร์รูททั้งเศษและส่วน เช่น สแควร์รูท 8 หารด้วย สแควร์รูท 2 สามารถทอนเป็น สแควร์รูท 4 ซึ่งเท่ากับ 2 ถือเป็นจำนวนตรรกยะ

ขั้นตอนสอง ตรวจสอบสัญลักษณ์พิเศษ หากโจทย์ระบุค่าพายโดยตรง นั่นคือจำนวนอตรรกยะ แต่ถ้าโจทย์กำหนดตัวเลข 22 ส่วน 7 หรือ 3.14 มาให้โดยตรง ให้จำไว้ว่าตัวเลขทั้งสองนี้เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ 22 ส่วน 7 อยู่ในรูปเศษส่วน และ 3.14 เป็นทศนิยมรู้จบ

ขั้นตอนสาม สังเกตการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ผลลบ ผลคูณ หรือผลหาร ระหว่างจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ มักจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ ยกเว้นกรณีการคูณหรือหารด้วยศูนย์ เช่น 0 คูณด้วย ค่าพาย จะได้ 0 ซึ่งกลายเป็นจำนวนตรรกยะ

สรุปความสำคัญและการนำไปใช้

การแยกแยะจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเป็นรากฐานสำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับสูง ไม่ว่าจะเป็นเรื่องพีชคณิต แคลคูลัส หรือการแก้ระบบสมการ การเข้าใจธรรมชาติของระบบจำนวนจริงจะช่วยให้นักเรียนพัฒนาทักษะการคิดอย่างมีระบบ และทำคะแนนสอบในข้อสอบสำคัญได้อย่างมั่นใจ